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太阳系真的是稳定的吗？这一问题曾困扰了包括牛顿在内众多杰出的数学家、物理学家；对这一问题的探索激发了非线性力学和混沌理论。如今快速计算机和新算法的出现给出了概率性回答：未来50亿年间太阳系很可能是稳定的，但也有1%的概率显示太阳系将会土崩瓦解。
太阳系的稳定性问题
人类日出而作，日落而息，亘古未变，大概很少有人会关心这样一个问题——太阳系是稳定存在的么？地球是否会毁于某个突然撞过来的天体，或是逐渐改变了现有轨迹，过于靠近太阳被蒸发殆尽，或是背离太阳成为冰球？
我们大多数人都想当然地认为，地球甚至整个太阳系都是高度稳定的。毕竟，太阳系已然诞生了45亿年的时间，如果存在不稳定的因素，浩劫也许早该发生，现在开始担心太阳系稳定性问题岂不是杞人忧天？
实际上，太阳系的长期演化历史和其稳定性是天文学中最基本却悬而未决的重要问题之一。
历史回顾
牛顿的上帝之手：稳定性的质疑
图1。 英国物理学家牛顿（1643-1727）
太阳系的稳定性问题可以追溯到牛顿时期，牛顿（图1）第一个意识到行星运行的物理本质，他利用万有引力理论成功的解释了行星绕太阳运行的基本规律：在只考虑太阳引力的情况下，每一颗行星都将以太阳为焦点进行椭圆运动。这也是经典牛顿力学里一个非常完美的解析解。不得不说这里有一个看似非常高明的近似处理，因为太阳的质量占据整个太阳系总质量的99.8%，所以牛顿假设了行星之间的相互作用可以忽略不计，即每个行星轨道之间相互独立。这种假设有其合理之处，因为即使是太阳系质量最大的行星——木星，其对地球的引力作用也不过约为太阳引力作用的十万分之一。在这种近似处理下，我们可以轻而易举地根据每颗行星的现有观测属性，依照牛顿定律，预测其未来任何时刻的运动轨迹。
然而，早在牛顿时代，足够高精度的行星观测数据表明，太阳系中各行星的实际观测轨迹与近似解下的完美椭圆轨迹之间存在一定的偏差，其中比较引人瞩目的就是土星和木星的“偏航”问题——16、17世纪的天文学家发现木星正螺旋式地缓慢逼近太阳，同样地，土星也正以类似的方式缓慢地远离太阳。如果按照这一趋势演化几万年的话，整个太阳系将万劫不复。
显然，牛顿的近似处理并不能解释土、木二星的“迷航”。这一结果让牛顿陷入了迷茫，也让他对于太阳系的稳定性产生质疑。他意识到，太阳系的8大行星（牛顿当时只知道其中6个）之间存在周期性的、微小的引力扰动，这些微小的引力扰动会不会日积月累，最终成为导致行星轨迹异常的罪魁祸首？
牛顿后来对于太阳系稳定性问题的评论可圈可点，他认为所有行星诞生之初都是按照标准的椭圆轨迹共轴运转，然而随着行星之间（行星与彗星之间）相互作用的累积，平衡被打破，越来越多的行星出现轨道异常，最终整个行星系统土崩瓦解直至产生新的暂稳系统。
牛顿如此旗帜鲜明地相信太阳系是不稳定的，他认为现如今这样间距合适、近圆轨道运转的行星布局，大概只能侥幸归功于上帝之手的鬼斧神工。
拉普拉斯的决定论：稳定性的拥趸
如何理解土星和木星的“偏航”问题一度成为18世纪一个重要的科学议题，一方面，它将决定牛顿定律是否适用于行星系统，另一方面它也将太阳系的稳定性问题提上了议程。
牛顿对“偏航”问题的失败解读无疑激发了众多数学家攻克难题的动力。1个世纪后，欧拉（Euler）试图将土、木二星的相互作用纳入考虑，研究两行星的平均运动情况，其结果虽然不尽如人意，但却为后世应用广泛的扰动方法奠定了基础；1766年，拉格朗日（Lagrange）第一次采用了准周期性的表述方式来描述行星在轨道平面的运动，并引入了轨道倾角（inclination）、节点经度（longitude of nodal）等参数，这些变量我们沿用至今。值得一提的是，尽管当时几个类地行星（水星、金星、火星） 的质量尚有一定的不确定性，拉格朗日仍然计算出了节点的久期振动频率，且与现在的计算结果非常接近。同时期的法国数学家拉普拉斯（Laplace，图2）对拉格朗日的工作印象深刻，他开始应用拉格朗日的方法研究行星轨道的离心率（eccentricity）和远日点（aphelion）。他发现土星绕太阳公转两圈的时间与木星公转五圈的时间是相当的，这一巧合将会导致土、木两星在各自轨道附近产生一个周期为数千年的振荡，这一振荡也为土、木二星的偏航提供了合理的解释。
图2。 法国数学家拉普拉斯（1749-1827）
毫无疑问，拉普拉斯的结果令人钦佩，也 与观测最为符合，就他所属的时代而言，他无疑取得了突出的成就。虽然欧拉和拉格朗日也触及了解决问题的关键——土星、木星的相互作用，但却都与正解失之交臂。
拉普拉斯在牛顿万有引力的框架下合理地解释了土星、木星的轨道奇异性，并据此，开始反演太阳系。他尝试基于土星、木星的演化理论来推断太阳系诞生之初土、木星二星的位置，结果和两千年前（228 BC）巴比伦人和（240 BC）托勒密（Ptolemy）的观测数据惊人的吻合。这无疑激发了拉普拉斯决定论的提出——“我们可以把宇宙现有的状态视为其过去的果以及未来的因。如果一个智者知道某一时刻所有自然运动的力和所有自然构成的物体的位置，并能对这些数据进行分析，那么从宇宙里最大的天体到最小的粒子，它们的运动轨迹都应该包含在一条简单的公式中。对于这个智者来说，没有问题是含糊的，未来可以像过去一般历历在目”。简单的说，拉普拉斯认为，一旦我们知晓宇宙中所有物体的位置和速度，那么就能准确的推断它的过去，预测它的未来。
在拉普拉斯的推断中，太阳系作为一个整体，是一个稳定的周期性运动系统，各个行星轨道的半长轴并没有经历长期的变动，它们的轨道离心率和倾角也只是经历比较小幅度的变动，而这些变动并不足以激发轨道交汇，产生行星碰撞。但是，在拉格朗日和拉普拉斯的工作中，行星的轨道已非标准的开普勒式椭圆。行星将存在两个方向的进动——近日点方向的进动（行星轨道在轨道平面的转动）以及节点的进动（行星轨道平面在三维空间中的转动），进动周期从45000年到几百万年不等。
除此之外，还有其他许多数学家也曾投身于太阳系稳定性问题的研究，包括赫赫有名的高斯（Gauss）、泊松（Poisson），和近代的法国数学家莫泽（Moser），以及俄国数学家阿诺德（Arnold） 和柯尔莫戈洛夫（Kolmogorov）。在研究过程中，他们发表了多个关于太阳系稳定性的证明。然而，这些证明都是基于各种近似假设，与太阳系的实际情况并不完全相符，因此太阳系的稳定性依然存疑。但这些研究却并非毫无意义，众多新型的数学计算工具，例如扰动理论、卡姆（KAM）定理等应运而生，这也为现代学科分类下的非线性动力学和混沌理论提供了灵感。
庞加莱的混沌：可预知性的终结
牛顿对太阳系稳定性的质疑，无疑埋下一颗怀疑的种子，虽然大数学家拉普拉斯等也曾深入探讨过这个问题，在他们的结论中，太阳系是完全稳定的，但大家仍然心存疑虑。于是在1887年，开明又喜爱数学的瑞典国王奥斯卡二世采用2500瑞典克朗的现金奖励方式来悬赏这一问题的答案，最终摘得桂冠的法国科学院院士庞加莱（图3）却证明了这个问题并不可解。
图3。 法国数学家庞加莱（1854-1912）
那个时代的物理学家热衷于观测并研究天体，他们喜欢基于牛顿的引力定律来计算多天体的运动轨迹，并将此类问题归为N体问题。对于简单的二体问题，牛顿时代已经可以精确求解，但到了三体以及多体问题，却是困难重重。庞加莱受美国数学家希尔的启发，首先将三体问题简化为所谓的“限制性三体问题”。即在一个特殊三体系统中，当其中一个天体质量很小（相对于另外两个天体来说可以忽略不计）时，忽略其引力作用。剩下的两大天体将按照开普勒定律，绕着它们的质量中心做椭圆运动。而小天体则将在两大天体的联合重力场中运动。然而，即便如此，庞加莱发现小天体的运动轨迹依然非常复杂，哪怕给定了初始条件，当时间趋向于无穷时，小天体最终前景莫测。这种轨道长时间演化的不确定性，也就是我们现在熟知的混沌现象。
即使是这样一个简化的三体系统，也不存在解析解，更不用提由太阳和多个行星构成的N体系统了。换而言之，对于两体以上的多体问题，我们很难或者说根本找不到一个完美的公式可以永远准确地预测它们的信息，对于它们轨道的长期稳定性问题更是无从谈起。
庞加莱的这一研究无疑是一项超越时代的工作，他发现，行星系统中存在哪怕一点微小的扰动都有可能是压垮太阳系的最后一根稻草，这也是混沌思想的雏型。虽然现在“蝴蝶效应”人尽皆知，但在当时这却是与主流思想背道而驰的观点。要知道十九世纪末期，大家对自然界的基本理解多倾向于拉普拉斯的决定论。人们更愿意乐观地相信，根据现在的状态，人类有能力预测未来的一切。然而，庞加莱的理论恰恰预示着完美的、可预知性的终结。他发现拉普拉斯等人在计算太阳系稳定性时所采用的基本近似方法，并不适用于长时间的轨道预估，太阳系中各行星的命运都必须用概率表述。
计算机中的太阳系
太阳系的稳定性问题自牛顿提出，历时3个世纪，虽然曾有无数天文学家、数学家前赴后继，也未能寻求到最终答案。幸运的是，自20世纪80年代开始，随着数值模拟突飞猛进地发展，天文学家已经能够利用超级计算机对太阳系各成员行星进行高精度地追踪模拟。其中，成果之一就是直接证明了太阳系命运的不可预测性，与一百年前庞加莱的想法不谋而合。
数值模拟的困境
对陨石的化学元素分析表明，太阳系大约形成于46亿年前，其中主星太阳目前正处于主序星的壮年期，燃料充足，状态稳定。然而，根据恒星的基本演化规律，太阳接下来将由于内部氢燃料耗尽成为一颗红巨星，伴随温度降低，体积膨胀，水星、金星将被完全吞噬，整个太阳系濒临死亡。距离这一阶段，差不多还有80亿年的时间。而在此之前，太阳系是稳定的么？
其实，解答太阳系稳定性问题的最直接办法就是采用计算机模拟，追踪行星几十亿年后的轨道演化。所幸，我们已知太阳系所有行星的质量和轨道参数，而近邻星和银河系的潮汐作用，甚至包括彗星、小行星、卫星等引力作用都可以合并简化计算或设置为无穷小量。
利用数值计算的方法模拟太阳系的稳定性主要面临两个挑战。第一，如何在数值计算的过程中，使行星轨道在几百亿个周期时间内能够保持足够的计算精度。这个问题随着20世纪90年代辛积分算法（symplectic integration algorithms）的兴起而得以解决。第二，在追踪行星轨道的演化过程中，如何尽可能地缩短计算时长。当然，随着过去五十年间计算机硬件计算速度的指数提升（摩尔定律），这一问题也得以改善。然而，由于近几年计算速度的提升主要得益于并行计算，即将一个计算问题分配到几百甚至几千个线程同时进行运算，这一优化却并不适用了追踪行星演化。因为行星系统的演化是个连续性问题，如果你需要追踪一百年后的轨道演化，你就必须首先获取一百年前的轨迹信息。因此，如何推算太阳系中各行星在数十亿年间的演化仍旧是个难题。
混沌的太阳系
为了克服这一困境，巴黎天文台的拉斯克（Lasker）在计算机代数的基础上，发展出一种在时间上向前推算行星运动的近似方法，包含了行星间微弱的引力扰动，使得太阳系的模拟演化时标长达数十亿年。
结果表明，分布于太阳系外部区域的四大巨行星——木星、土星、天王星和海王星，在整个太阳系存续期间（80亿年内）都是相对稳定的（甚至可以认为它们在1千万亿年的时间跨度内都是稳定地）。相反地，处于太阳系内部区域的四个类地行星——水星、金星、地球和火星，则活跃的多，其轨道离心率在长时间演化过程中，变动较大且无序（图4）。
图4。 利用数值积分的方法，模拟太阳系其前100亿年至其后150亿年间，8大行星轨道在单位时间间隔（1000万年）内最大离心率的演化情况。上图为水星、金星和地球的演化，下图为火星、木星、土星、天王星、海王星的演化。可见，四个巨行星都比较循规蹈矩，在单位时间间隔内的离心率在250亿年间基本没有明显变化。相反地，几个类地行星却活泼得多，其轨道离心率随时间变动很大且无序，可归为混沌区域。
实际上，对于四个类地行星而言，能够进行有效轨道预估的时标只有几百万年，远小于太阳系的年龄。所以，即使采用几乎完全相同的初始模型（行星质量、位置等仅仅存在观测上无法探知的微小差异），几千万年后，行星轨道间也将产生不可忽视的差异。更为关键的是，差异的大小将随时间的演化由线性增长过渡为指数增长。例如，早期演化中，不同模型产生的位置差异为1毫米到2毫米再到3毫米等等，但是到了后期，位置差的增长模式为1毫米到2毫米再到4毫米、8毫米、16毫米等等。这一指数增长行为即标志着数学上的混沌现象，暗示着行星轨道的不可预估性。现如今我们通过计算模拟得到的行星轨道信息，可能与几亿年后的实际情况偏差很大，因为行星的演化情况实在太过于依赖初始条件。很难想象，仅仅是将铅笔从书桌的一端移到另一端这一行为，都将改变地球对木星的引力扰动，历经几十亿年后，这种改变甚至足够导致木星位置的偏移。
换而言之，计算机模拟下的太阳系，将不可避免地显现出不同的命运。尤其是水星，最有可能失控，成为摧毁整个太阳系的害群之马（图5）。
图5。 四个类地行星——水星（白色）、金星（绿色）、地球（蓝色）和火星（红色）的可能演化情形。以一千年为时间单位。图（a）为尚未发生任何近距离交汇和碰撞情况下，各个类地行星的轨迹。由于行星间的引力扰动，每个行星的轨道将会稍微偏离现有状态。图（b）表明，若水星的轨道偏折足够大，将在50亿年内与金星甚至太阳发生碰撞。图（c）情况下，火星的离心率被较大激发，足够与地球发生近距离交汇或碰撞。图（d）情况下，整个类地行星系统极不稳定，金星甚至与地球产生碰撞。
为何质量较小看起来无害的水星却是太阳系失控与否的关键？究其根本却是由于木星的存在。
行星间的引力扰动将导致行星轨道偏离完美椭圆，其中最为显著的一个表现即为行星近日点沿顺时针或逆时针方向的进动。目前，水星的进动速度为每世纪0.16度，而木星则为每世纪0.21度。数值模拟的结果表明，水星的进动速率将会随着引力扰动的时间累加效应而逐渐增大，一旦水星的进动速率接近木星的话，就会引发其和木星的久期共振（secular resonance）。在久期共振情况下，木星与水星将产生持续的、单向性的角动量交换。对于木星而言，角动量的增加并不会有显著的轨迹改变，但对于质量只有木星质量0.017%的水星来说，角动量的转移将会导致其离心率急剧激发，直至与金星轨道相交（图6）。而金星与水星间的密近交汇将导致它们可能沿任意方向被甩出，继而引发整个太阳系连锁式的崩溃灾难，可怕的是，发生这一情况的概率并不是很低，约为10%。
图6。 金星近日点进动与其轨道离心率的关系。当金星进动频率与木星接近产生共振时，其离心率将被极大激发，轨道拉伸直至与金星轨道相交，产生灾难性后果。
所幸，爱因斯坦的广义相对论是正确的。若将广义相对论效应纳入考虑，水星的进动速率将每年额外增加0.43角秒，这将极大地降低水星与木星产生近日点久期共振的可能性，使得太阳系长期稳定的概率可高达99%（图7）。
图7。 50亿年间，水星离心率演化的各种情形。图（a）为不考虑相对论效应的情况下，所有201个系统中，有121个系统的水星离心率被极大激发。图（b）为考虑相对论效应后，所有2501个系统中，只有21个系统会存在水星轨道离心率的激发。
生存还是毁灭？
所以，在太阳演变为红巨星开始吞噬内部行星并将外部行星焚烧成灰前，这（约）八十亿年间，地球到底将生存还是毁灭？
就如同混沌先驱庞加莱预言的一样，至今我们仍不能给出完全肯定或否定的答案。只能说，目前大多数的计算结果倾向于相信太阳系各行星将长期保持相对稳定的状态，直至太阳主序星阶段的终结，从这个角度讲，太阳系是稳定的。但是，如果更仔细的研究行星轨道的演化历史，将发现实际情况太过复杂，混沌效应的存在使我们的太阳系看起来前途未卜。
幸运的是，大多数行星轨道的不可预测性主要体现在其轨道相位，而非轨道大小和轨道形状，所以太阳系的混沌本性并不会一定导致行星间的相互碰撞。但是，混沌的存在暗示我们，只能从统计的层面推测太阳系的命运。因此，关于太阳系稳定性的答案，确切的说，在太阳主序期终结之前，有1%的可能性，水星的轨道将变得特别椭，以至于在50亿年间就撞上金星。在这1%的概率内，地球的前景将不容乐观。最糟糕的情形，将如同封面动画描述般，由水星引发的不稳定状态，或将造成地球与火星（或金星）产生毁灭性的直接碰撞。即使直接碰撞未发生，火星也将很有可能从地球表面近距离（几百千米）掠过，其巨大的潮汐作用将会融化地球的地壳和地幔，使得地球沦为一个不可能有生命幸存的岩浆星球。
这里还有两个有趣的事实值得玩味。第一，在1%的概率中，太阳系失去水星所需要的时间大概与其诞生至今的时间相当；第二，太阳系目前接近满员却并未达到极限，理论上讲，我们完全可以找到某个合适位置用于安放一颗额外的行星而不会影响整个系统的稳定。基于这些事实，我们不难推测，也许太阳系诞生之初拥有比现在更多的行星，当然整个系统的稳定时标也更短。随着时间的流逝，太阳系失去越来越多的行星，并逐步自我重组进入新的稳定状态。在此过程中，失去下个行星的时标与其系统年龄相当。地球可能正是因此已经失去了它的其它几个兄弟姐妹。
结束语
总而言之，对于太阳系稳定性这一困扰科学家数百年之久的问题，目前为止，我们所能提供的依然只是一个概率解。在接下来50亿年里太阳系仍可保持稳定，但在漫漫80亿年间，在迎来主星末日之前，太阳系的命运、地球的命运依然莫测，地球必须生活在1%可能被毁灭的阴影之中。不过，人类文明是否真能延续到那样久远的时日，或者说在此之前，人类文明早已迁移到其它宜居星球，这又是另一个有趣的话题了。
